求函数f(x)=2x²-x-1分之x²-4x+3的值域?
题目
求函数f(x)=2x²-x-1分之x²-4x+3的值域?
还有,若3f(x-1)+2f(1-x)=2x,求f(x)的解析式?
答案
用判别式法.
设y=(2x^2-x-1)/(x^2-4x+3),移项:y(x^2-4x+3)=2x^2-x-1;
整理得:x^2(y-2)+x(1-4y)+3y+1=0;要使方程有解,△≥0.且y≠2.
△=(1-4y)^2-4(y-2)(3y+1)=(2y+3)^2 ≥0,显然对于任意不等于2的y,均成立.
故函数的值域为y≠2..
令t=x-1,则x=t+1
原式化为3f(t)+2f(-t)=2t+2
以-t替换t:3f(-t)+2f(t)=-2t+2;
联立方程组,消去f(-t)得:f(t)=2t+2/5,即 f(x)=2x+2/5.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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