函数y=（x+1）3-3x2-（2a+3）x+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围是（　　） A.（0，3） B.（-∞，3） C.（0，+∞） D.（0，32）

题目

函数y=（x+1）³-3x²-（2a+3）x+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围是（　　）
A. （0，3）
B. （-∞，3）
C. （0，+∞）
D. （0，

3

2

）

答案

∵y=f（x）=（x+1）³-3x²-（2a+3）x+a=x³-2ax+a+1，
∴f′（x）=3x²-2a，
若函数y=（x+1）³-3x²-（2a+3）x+a在（0，1）内有极小值，
则

f′(0)＜0 f′(1)＞0

，
即

−2a＜0 3−2a＞0

，
解得：a∈（0，

3

2

），
故选：D

由函数y=f（x）=（x+1）³-3x²-（2a+3）x+a在（0，1）内有极小值，可得f′（0）＜0且f′（1）＞0，由此构造关于实数a的不等式，解得答案．

本题考点：函数在某点取得极值的条件．

考点点评：本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．