奇函数f(x)=m−g(x)1+g(x)的定义域为R,其中y=g(x)为指数函数且过点(2,4). (Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式; (Ⅱ)若对任意的t∈[0,5],不等式f(t2+2t+k)+f(
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奇函数f(x)=m−g(x)1+g(x)的定义域为R,其中y=g(x)为指数函数且过点(2,4). (Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式; (Ⅱ)若对任意的t∈[0,5],不等式f(t2+2t+k)+f(
题目
奇函数f(x)=
m−g(x)
1+g(x)
答案
(Ⅰ)设g(x)=a
x
(a>0,a≠1),
则a
2
=4,∴a=2,
∴
g(x)=
2
x
,f(x)=
m−
2
x
1+
2
x
.
又∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),∴
m−
2
−x
1+
2
−x
=−
m−
2
x
1+
2
x
,
整理得m(2
x
+1)=2
x
+1,∴m=1,
∴
f(x)=
1−
2
x
1+
2
x
;
(Ⅱ)∵
f′(x)=
−
2.2
x
ln2
(1+
2
x
)
2
<0
,∴y=f(x)在R上单调递减.
也可用
f(x)=
2
1+
2
x
−1
为R上单调递减.
要使对任意的t∈[0,5],f(t
2
+2t+k)+f(-2t
2
+2t-5)>0解集非空,
即对任意的t∈[0,5],f(t
2
+2t+k)>-f(-2t
2
+2t-5)解集非空.
∵f(x)为奇函数,∴f(t
2
+2t+k)>f(2t
2
-2t+5)解集非空,
又∵y=f(x)在R上单调递减,∴t
2
+2t+k<2t
2
-2t+5,
当t∈[0,5]时有实数解,
∴k<t
2
-4t+5=(t-2)
2
+1当t∈[0,5]时有实数解,
而当t∈[0,5]时,1≤(t-2)
2
+1≤10,
∴k<10.
举一反三
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