是否存在常数a、b、c,使等式1*3+3*5+5*7+……+(2n-1)(2n+1)=n*(an^2+bn+c)/3对任意正整数成立?证明

题目

是否存在常数a、b、c,使等式1*3+3*5+5*7+……+(2n-1)(2n+1)=n*(an^2+bn+c)/3对任意正整数成立?证明

答案

令n=1,2,3得
3=(a+b+c)/3
18=2(4a+2b+c)/3
53=9a+3b+c
解出a=4,b=6,c=-1
用数学归纳法证明
①当n=1时,成立
②假设当n=k时,等式成立
即1*3+3*5+5*7+...+(2k-1)(2k+1)=k*(4k^2+6k-1)/3
那么1*3+3*5+5*7+...+(2k-1)(2k+1)+(2k+1)(2k+3)
=k(4k^2+6k-1)/3+(2k+1)(2k+3)
=[4k^3+18k^2+23k+9]/3
=(k+1)(4k^2+14k+9)/3
=(k+1)[4(k+1)^2+6(k+1)-1]/3
即当n=k+1时,等式也成立