已知曲线C1:y2=2x与C2:y=1/2x2在第一象限内交点为P. (1)求过点P且与曲线C2相切的直线方程;(2)求两条曲线所围图形(如图所示阴影部分)的面积S.
题目
已知曲线C
1:y
2=2x与C
2:y=
x2在第一象限内交点为P.
(1)求过点P且与曲线C
2相切的直线方程;
(2)求两条曲线所围图形(如图所示阴影部分)的面积S.
答案
(1)曲线C
1:y
2=2x与C
2:y=
x2在第一象限内交点为P(2,2)
C
2:y=
x2的导数y'=x
y'|
x=2=2
而切点的坐标为(2,2)
∴曲线C
2:y=
x2在x=2的处的切线方程为y-2=2(x-2),即2x-y-2=0.
(2)由曲线C
1:y
2=2x与C
2:y=
x2可得两曲线的交点坐标为(0,0),(2,2)
∴两条曲线所围图形(如图所示阴影部分)的面积:
S=
(
-
x2)dx=(
×
x
-
x3)
=
.
(1)先通过解方程组求交点P的坐标,再根据导数的几何意义求出函数在x=2处的导数,从而得到切线的斜率,再利用点斜式方程写出切线方程即可.
(2)先确定积分区间,再确定被积函数,从而可求由两条曲线曲线C
1:y
2=2x与C
2:y=
x2所围图形的面积.
定积分在求面积中的应用
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,定积分在求面积中的应用,考查运算求解能力,属于基础题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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