设椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|=22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．

题目

设椭圆ax²+by²=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|=2

2

，OC的斜率为

2

2

，求椭圆的方程．

答案

设A（x1，y1），B（x2，y2），那么A、B的坐标是方程组ax2+by2＝1x+y−1＝0的解．由ax12+by12=1，ax22+by22=1，两式相减，得a（x1+x2）（x1-x2）+b（y1+y2）（y1-y2）=0，因为y1−y2x1−x2=-1，所以y1+ y2x1+x2=...

先根据题意设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），那么A、B的坐标是方程组

ax2+by2＝1 x+y−1＝0

的解．两式相减，得出b与a的关系，再由方程组消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得a，b值，从而求得椭圆的方程．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式，再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解．