设P为三角形ABC BC边上任意一点,连结AP,AP的垂直平分线交AB于M,交AC于N,求证 BP·BC=MB·CN

题目

设P为三角形ABC BC边上任意一点,连结AP,AP的垂直平分线交AB于M,交AC于N,求证 BP·BC=MB·CN

答案

连接PM、PN
因为MN垂直平分AP
所以∠BAP=∠MPA
∠CAP=∠APN
又因为∠BAP+∠CAP=60
所以∠MPA+∠APN=60
所以∠BPM+∠NPC=120
又因为∠B=60 所以∠BMP+∠BPM=120
所以∠NPC=BMP
又因为∠B=∠C=60
所以△BMP相似于△CPM
所以BP/CN=BM/PC
BP*PC=BM*CN