期末热身（2)17题,数列｛an｝的前n项和记为Sn,已知a1＝1.an+1＝(n+2)Sn/n(n∈N*)

题目

期末热身（2)17题,数列｛an｝的前n项和记为Sn,已知a1＝1.an+1＝(n+2)Sn/n(n∈N*)
证明：（1）数列{Sn/n}的等比数列.（2）Sn+1＝4an重点在第2小问,

答案

证：
1.
a(n+1)=S(n+1)-Sn=(n+2)Sn/n
nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn
nS(n+1)=2(n+1)Sn
等式两边同除以n(n+1)
S(n+1)/(n+1)=2(Sn/n)
[S(n+1)/(n+1)]/(Sn/n)=2,为定值.
S1/1=a1/1=1/1=1,数列{Sn/n}是以1为首项,2为公比的等比数列.
2.
Sn/n=1×2^(n-1)=2^(n-1)
Sn=n×2^(n-1) S(n+1)=(n+1)×2ⁿ
n≥2时,an=Sn-S(n-1)=n×2^(n-1)-(n-1)×2^(n-2)=(n+1)×2^(n-2)
n=1时,a1=(1+1)×2^(1-2)=2×(1/2)=1,同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=(n+1)×2^(n-2)
4an=4×(n+1)×2^(n-2)=(n+1)×2ⁿ=S(n+1),等式成立.