AD是三角形ABC的中线,DE,DF分别平分角ADB和角ADC,连接EF,求证 EF大于 BE+CF

题目

AD是三角形ABC的中线,DE,DF分别平分角ADB和角ADC,连接EF,求证 EF大于 BE+CF
截长补短法

答案

延长AD到G,使AD=DG,连接BG,延长线段FD交BG于H,因为D是BC中点,所以BD=DC,又因为∠BDG与∠ADC为对顶角,所以∠BDG=∠ADC,又因为AD=DG,所以△ADC≌△BDG,所以∠GBD=∠C,又因为∠BDH与∠FDC为对顶角,所以∠BDH=∠FDC,又因为∠GBD=∠C,BD=DC,所以△FDC≌△BDH,所以BH=CF,DH=DF,所以BE+CF=BE+BH,连接EH,因为DE DF分别平分角ADB 角ADC,所以 ∠EDA=1/2∠ADB,∠ADF=1/2∠ADC,所以∠EDA+∠ADF=1/2∠ADB+1/2∠ADC=1/2（∠ADB+∠ADC）=1/2×180°=90°即∠EDF=90°,所以∠EDH=90°=∠EDF,又因为ED=ED,DH=DF,所以△EDH≌△EDF,所以EH=EF,因为三角形任意两边之和大于第三边,所以EHEF