在平面直角坐标系xoy中,已知抛物线M关于x轴对称,顶点为原点O,且过点A(1,2)

题目

在平面直角坐标系xoy中,已知抛物线M关于x轴对称,顶点为原点O,且过点A(1,2)
抛物线方程为y^2=4x,设点BC是抛物线M上的两个懂点,且角BAC=90°,求证：动直线BC必过定点.

答案

设点B(b^2/4,b)点C(c^2/4,c)
则直线BC方程
y-b=(c-b)/(c^2/4-b^2/4)(x-b^2/4)=4(x-b^2/4)/(c+b)
又因为角BAC=90°,从而向量AB垂直于AC
AB点AC=0 得 (b^2/4-1)(c^2/4-1)+(b-2)(c-2)=0,得到
(b-2)(b+2)(c-2)(c+2)+(b-2)(c-2)=0
显然B,C不能与A重合,否则BAC不存在了,那么(b-2)(c-2)不等于0
所以
(b+2)(c+2)+1=0
c=-2-1/(b+2)
带入BC方程并整理
(b^2-5)(y-b)=(4x-b^2)(b+2)
(y+2)b^2+(5-4x)b-(5y+8x)=0
容易知道x=5/4,y=-2的时候上式不管b为何值均成立,即BC过定点（5/4,-2）