y=f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的实数,都有f(x+1)=f(x-1)成立.当x∈[1.2]时,f(x)=log a x

题目

y=f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的实数,都有f(x+1)=f(x-1)成立.当x∈[1.2]时,f(x)=log a x
1.x∈[2k-1,2k+1]k∈z,f(x)的表达式
2.若函数y=f(x)的最大值为1/2,在区间[-1,3]上解关于x的不等式f(x)>1/4

答案

(1)
当x∈[2k－1,2k]时,f(x)＝f(x－2k)＝loga(2＋x－2k)
同理,当x∈(2k,2k＋1]时,f(x)＝f(x－2k)＝loga(2－x＋2k)
∴f(x)＝[分段函数]
{loga(2＋x－2k),x∈[2k－1,2k]
{loga(2－x＋2k),x∈(2k,2k＋1]
(2)
由于函数是以2为周期的周期函数,故只需要考查区间[－1,1]
当a＞1时,由函数f(x)的最大值为1/2,知f(0)＝f(x)max＝loga 2＝1/2,即a＝4
当0＜a＜1时,则当x＝±1时,函数f(x)取最大值为1/2,即loga(2－1)＝1/2,舍去
综上所述：a＝4
当x∈[－1,1]时,
若x∈[－1,0],则log4(2＋x)＞1/4
∴√2－2＜x≤0
若x∈(0,1]时,则log4(2－x)＞1/4
∴0＜x＜2－√2
∴此时满足不等式的解集为(√2－2,2－√2)
∵函数是以2为周期的周期函数
∴在区间[－1,3]上,f(x)＞1/4的解集为(√2,4－√2)
综上,所得不等式的解集为：(√2－2,2－√2)∪(√2,4－√2)
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