p为椭圆c上一点,F1,F2为两个焦点,/PF1/=13,/PF2/=15,tan角PF1F2=12/5,求离心率

题目

p为椭圆c上一点,F1,F2为两个焦点,/PF1/=13,/PF2/=15,tan角PF1F2=12/5,求离心率

答案

|PF1|+|PF2|=13+15=2a,∴ a=14；
tan∠PF1F2=12/5,则 sin∠PF1F2=12/13,cos∠PF1F2=5/13；
在△PF1F2中,由正弦定理 PF2/sin∠PF1F2=PF1/sin∠PF2F1；
∴ sin∠PF2F1=(PF1/PF2)*sin∠PF1F2=(13/15)*(12/13)=4/5；cos∠PF2F1=3/5；
sin∠F1PF2=sin(180°-∠PF1F2-∠PF2F1)=sin∠PF1F2cos∠PF2F1+cos∠PF1F2sin∠PF2F1
=(12/13)*(3/5)+(5/13)*(4/5)=56/65；
由由正弦定理可得 F1F2=|PF1|*sin∠F1PF2 / sin∠PF2F1=13*(56/65)/(4/5)=14=2c；c=7；
∴ e=c/a=7/14=1/2；