已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C的方程; (2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,|OP||

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C的方程; (2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,|OP||

题目
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,
|OP|
|OM|
=λ,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
答案
(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c,
由已知得
a−c=1
a+c=7
,解得a=4,c=3,
所以椭圆C的方程为
x2
16
+
y2
7
=1.
(2)设M(x,y),其中x∈[-4,4].
由已知
|OP|2
|OM|2
2及点P在椭圆C上,可得
9x2+112
16(x2+y2)
2
整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,其中x∈[-4,4].
①λ=
3
4
时,化简得9y2=112.
所以点M的轨迹方程为y=±
4
7
3
(-4≤x≤4),轨迹是两条平行于x轴的线段.
②λ≠
3
4
时,方程变形为
x2
112
16λ2−9
+
y2
112
16λ2
=1,
其中x∈[-4,4];
当0<λ<
3
4
时,点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分;
3
4
<λ<1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分;
当λ≥1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆.
(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c,由椭圆的性质可得
a−c=1
a+c=7
从而解决.
(2)设M(x,y),其中x∈[-4,4].由已知
|OP|2
|OM|2
2及点P在椭圆C上,可得
9x2+112
16(x2+y2)
2,整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,其中x∈[-4,4].再按照圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程讨论.

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