定积分： 抛物线y^2=2x把图形x^2+y^2=8分成两部分,求这两部分的面积.

题目

定积分： 抛物线y^2=2x把图形x^2+y^2=8分成两部分,求这两部分的面积.

答案

这是一个圆被抛物线分成两部分,圆半径为2√2,解出交点坐标为A（2,2）,B（2,-2）,
抛物线和小圆弧围的部分上下对称,X轴是对称轴,只要求一半即可,
而圆面积S3=π（2√2）^2=8π,AB弧对应圆心角为90度,其一半扇形面积为S3/8=π,
抛物线和小弧围成面积S1=2{∫[0,2]√（2x)dx+(π-2*2/2)}
=2{√2*(2/3)x^(3/2)[0,2]+π-2}
=2{8/3+π-2}
=2π+4/3.
另一部分面积S2为圆面积减去S1
S2=8π-2π-4/3=6π-4/3.