设x=1和x=2是函数f（x）=alnx+bx2+x的两个极值点 （1）求a，b的值； （2）求f（x）的单调区间．

题目

设x=1和x=2是函数f（x）=alnx+bx²+x的两个极值点
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间．

答案

（1）函数f（x）=alnx+bx²+x，∴f′（x）=

a

x

+2bx+1，
∵x=1和x=2是函数f（x）=alnx+bx²+x的两个极值点，
∴f′（1）=0，f′（2）=0，
可得：

a+2b+1＝0 1 2 a+4b+1＝0

，解得

a＝− 2 3 b＝− 1 6

，
（2）令f′（x）=

−2

3x

−

1

3

x+1＞0，（x＞0），即x²-3x+2＜0，（x＞0），可得1＜x＜2
∴f（x）在（2，+∞）及（0，1）上是减函数，在（1，2）上为增函数．

（1）清楚函数的导数，利用函数的极值点，得到a、b的关系式，即可求a，b的值；
（2）利用函数的导数大于0，得到不等式，求解即可得到函数的单调增区间，函数的单调减区间．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评：本题考查函数的导数的应用，极值的求法单调区间的求法，考查计算能力．