已知抛物线y^2=2x,直线AB交抛物线于AB两点,交X轴正半轴于点M（m,0）,若向量OA×向量OB=0（O为坐标原点）

题目

已知抛物线y^2=2x,直线AB交抛物线于AB两点,交X轴正半轴于点M（m,0）,若向量OA×向量OB=0（O为坐标原点）
则m的值是

答案

这应该是一道填空或选择题吧?
先猜测 m 为定值（就是不论A、B位置如何,直线AB恒过 x 轴上定点）,
然后取特殊值求 m .
取直线 y=x 和 y= -x ,它们分别与抛物线交于 A（2,2）,B（2,-2）,
可看出 ,m = 2 .
如果该题不是选择、填空题,而是解答题,可以按以下步骤写：
设AB方程为 x=ky+m ,代入抛物线方程得
y^2=2(ky+m) ,
y^2-2ky-2m=0 ,
设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,则
y1+y2=2k ,y1*y2= -2m ,
因此 x1*x2=(ky1+m)(ky2+m)=k^2y1*y2+km(y1+y2)+m^2=2mk^2-2mk^2+m^2=m^2 ,
由 OA*OB=0 得 x1x2+y1y2=0 ,
所以 m^2-2m=0 ,
解得 m=2 (舍去0,因为M成了原点）.