已知m属于R,设p:不等式m2-5m-2≧3,q:函数f(x)=x3+mx2+(m+4/3)x+6在R
题目
已知m属于R,设p:不等式m2-5m-2≧3,q:函数f(x)=x3+mx2+(m+4/3)x+6在R
答案
对于P命题要利用含绝对值不等式进行等价转化,并准确利用一元二次不等式求出m的范围;对于q命题利用导函数的图象为二次函数,进而得到原来函数在实数集有极值的m的范围,再利用复合命题真假值表即可求解
由已知不等式得
m2-5m-3≤-3①
或m2-5m-3≥3②
不等式①的解为0≤m≤5;
不等式②的解为m≤-1或m≥6.
所以,当m≤-1或0≤m≤5或m≥6时,p为真命题.
对函数f(x)=x3+mx2+(m+4/3)x+6求导得,
f′(x)=3x2+2mx+m+4/3
令f′(x)=0,即3x2+2mx+m+4/3 =0,
当且仅当△>0时,函数f(x)在(-∞,+∞)上有极值.
由△=4m2-12m-16>0得m<-1或m>4,
所以,当m<-1或m>4时,q为真命题.
综上所述,使p且q为真命题时,实数m的取值范围为
(-∞,-1)∪(4,5]∪[6,+∞).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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