已知三个质数m,n,p的乘积等于这三个质数的和的5倍,则m2+n2+p2=_.

已知三个质数m,n,p的乘积等于这三个质数的和的5倍,则m2+n2+p2=_.

题目
已知三个质数m,n,p的乘积等于这三个质数的和的5倍,则m2+n2+p2=______.
答案
由已知,mnp=5(m+n+p),
由于m,n,p均为质数,5(m+n+p)中含有因数5,
∴m,n,p中一定有一个是5,
不妨设m=5.则5np=5(5+n+p),即np=5+n+p,
∴np-n-p+1=6即(n-1)(p-1)=6,
又n,p均为质数,
n−1=1
p−1=6
n−1=2
p−1=3

解得
n=2
p=7
n=3
p=4
(不合题意舍去)
∴m=5,n=2,p=7,
∴m2+n2+p2=25+4+49=78.
根据已知可得mnp=5(m+n+p),由于m,n,p是三个质数,可知m,n,p中一定有一个是5.不妨设m=5,代入mnp=5(m+n+p),可得(n-1)(p-1)=6,从而得到方程
n−1=1
p−1=6
n−1=2
p−1=3
,求得m,n,p的值,再代入求得m2+n2+p2的值.

质数与合数.

本题考查了质数的乘积问题,解题的关键是确定三个质数中有一个是5,代入后通过分解质因数,得到方程组.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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