设椭圆 x^2/a^2 + y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,过点A且与AF垂直的光线经椭圆的右准线反射,反射光线与直线AF平行.（1）求椭圆的离心率（2）设入射光线与右准线的

题目

设椭圆 x^2/a^2 + y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,过点A且与AF垂直的光线经椭圆的右准线反射,反射光线与直线AF平行.（1）求椭圆的离心率（2）设入射光线与右准线的交点为B,过A,B,F三点的圆恰好与直线
3x-y+3=0 相切,求椭圆方程

答案

第一问
利用几何知识简便求解.
设过A且与AF垂直的光线与准线交点为B,
则AB⊥AF
因为反射光线与直线AF平行,所以入射光线与反射光线垂直,
所以入射角为45°,
所以∠AFO=45°,
即c=b,即离心率e=c/a=√2/2.
第二问
A(0,b)、F(-c,0),
由1知AB的方程为y=-x+b,
所以B(a^2/c,b-c^2/a),
由AF⊥AB知圆心O'为F、B中点,即O到直线3x-y+3=0的距离是|FB|/2,
由此列出关系式,
|3*(a^2/c-c)/2-(b-a^2/c)/2+3|/√10=(1/2)√[(b-a^2/c)^2+(a^2/c+c)]
将c=b及a=√2b代入可得
|2b+3|=5b,
所以b=1,
所以椭圆方程为x^2/2+y^1=1.