已知三棱锥P-ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC=3,BC=2.则二面角P-BC-A的大小为(  ) A.π4 B.π3 C.π2 D.2π3

已知三棱锥P-ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC=3,BC=2.则二面角P-BC-A的大小为(  ) A.π4 B.π3 C.π2 D.2π3

题目
已知三棱锥P-ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC=
3
,BC=2.则二面角P-BC-A的大小为(  )
A.
π
4

B.
π
3

C.
π
2

D.
3
答案
如图所示,由三棱锥的三个侧面与底面全等,
且AB=AC=
3

得PB=PC=
3
,PA=BC=2,
取BC的中点E,连接AE,PE,
则∠AEP即为所求二面角的平面角.
且AE=EP=
2

∵AP2=AE2+PE2
∴∠AEP=
π
2

故选C.
要求二面角P-BC-A的大小,我们关键是要找出二面角P-BC-A的大小的平面角,将空间问题转化为平面问题,然后再分析二面角P-BC-A的大小的平面角所在的三角形的其它边与角的关系,解三角形进行求解.

平面与平面之间的位置关系;与二面角有关的立体几何综合题.

求二面角的大小,一般先作出二面角的平面角.此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P-BC-A的平面角,通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP.其解题过程为:作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP,简记为“作、证、算”.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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