高数问题（有关中值定理）

题目

高数问题（有关中值定理）
f(x)在[0,1]可导,f(0)=0,f(1)=1,证明：对任意满足a+b=1的正整数a,b,存在相异两点x,y,(x,y都在0和1之间),使af'(x)+bf'(y)=1

答案

任取c∈(0,1)
对区间[0,c]和区间[c,1]运用拉格朗日定理有
f(c)-(0)=f(c)=f`(x)c
f(1)-f(c)=1-f(c)=f`(y)(1-c)
两式相加就有1=cf`(x)+f`(y)(1-c) 令c=a即证