如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，若AD+BC=42cm． 求：（1）对角线AC的长； （2）梯形ABCD的面积．

题目

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，若AD+BC=4

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cm．
求：（1）对角线AC的长；
（2）梯形ABCD的面积．

答案

过点D作AC的平行线DE，与BC的延长线交于E点．（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AC∥DE，∴四边形ACED为平行四边形，AC=DE，AD=CE，∵AB=CD，∴梯形ABCD为等腰梯形，∴AC=BD，∴BD=DE，又AC⊥BD，∴∠BOC=90°∵AC∥DE∠BD...

（1）过点D作AC的平行线DE，与BC的延长线交于E点，利用梯形的性质平移对角线AC，由题意可知，两条对角线与上、下底的和构成等腰直角三角形，已知斜边BE=AD+BC=4

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，可求直角边DE的长，即AC长；
（2）当四边形对角线互相垂直时，四边形的面积等于两条对角线积的一半，由此进行计算．

本题考点：梯形．

考点点评：本题考查了梯形常用作辅助线的方法：平移一条对角线，使梯形的两条对角线，上、下底的和围成三角形，再根据梯形其它条件解题．