已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别为边AB、DC的中点,CG∥DE,交EF的延长线于点G. (1)求证:四边形DECG是平行四边形; (2)当ED平分∠ADC时,求证:四边形DECG
题目
已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别为边AB、DC的中点,CG∥DE,交EF的延长线于点G.
(1)求证:四边形DECG是平行四边形;
(2)当ED平分∠ADC时,求证:四边形DECG是矩形.
答案
证明:(1)∵F是边CD的中点,
∴DF=CF.
∵CG∥DE,
∴∠DEF=∠CGF.
又∵∠DFE=∠CFG,
∴△DEF≌△CGF(AAS),
∴DE=CG,
又∵CG∥DE,
∴四边形DECG是平行四边形.
(2)∵ED平分∠ADC,
∴∠ADE=∠FDE.
∵E、F分别为边AB、DC的中点,
∴EF∥AD.
∴∠ADE=∠DEF.
∴∠DEF=∠EDF,
∴EF=DF=CF.
∴∠FEC=∠ECF,
∴∠EDC+∠DCE=∠DEC.
∵∠EDC+∠DCE+∠DEC=180°,
∴2∠DEC=180°.
∴∠DEC=90°,
又∵四边形DECG是平行四边形,
∴四边形DECG是矩形.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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