如果实数x,y,z满足x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)=8,用A表示|x-y|,|y-z|,|z-x|中的最大值,求A的最大值(要过程)

题目

如果实数x,y,z满足x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)=8,用A表示|x-y|,|y-z|,|z-x|中的最大值,求A的最大值(要过程)

答案

对称性不妨设：x≥y≥z a=|x-y|=x-y,b=|y-z|=y-z,c=|z-x|=x-z
有：a、b、c≥0; c=a+b 则：c≥a、b≥0
A的最大值=c
已知得出：16=a^2+b^2+c^2=2c^2-2ab≥2c^2-c^2/2=3c^2/2
c≤4(√6)/3
当且仅当：a=b=2(√6)/3,c=4(√6)/3时,等式成立 [此时,x、y、z成等差数列,公差=2(√6)/3 ]
所以：A的最大值=4(√6)/3