高数定积分换元问题

题目

高数定积分换元问题
设f(x)=∫(1,x) lnt/(1+t) dt ,求f(x)+f(1/x)

答案

f(1/x)=∫[1,1/x]lnt/(t+1)dt,做换元u=1/t,
f(1/x)=∫[1,x]ln(1/u)/(1+1/u)d(1/u)
=∫[1,x]ulnu/(u+1)/u²du
=∫[1,x]lnu/(u(u+1))du
所以f(x)+f(1/x)=∫[1,x](ulnu+lnu)/(u(u+1))du=∫[1,x]lnu/udu=ln²x/2