函数f(x)=a^x+loga^(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,求a的值（谢谢

题目

函数f(x)=a^x+loga^(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,求a的值（谢谢

答案

因a做了对数函数的底数,所以a>0且a不为1.
当a在(0,1)内时:
a^x单调递减,x+1增,但logx减,故log(x+1)减.
故其和也是减函数.
当a在(1,正无穷)时:
a^x增,x+1增且log(x)增,故log(x+1)增
故其和也是增函数.
总之,函数是单调的.
那么依题必有f(0)+f(1)=a
即1+0+a+log(2)=a
那么log(2)=-1,于是a=1/2
注:由于题目给的"最大值与最小值之和"是对称的,只要单调,把端点带进去就行,避免了再进行讨论.而解出的a,只要为非1正数,就可以.