√x(sinx+cosx)/(1+x)在x趋近于无穷时的极限 e的-1/|x|次幂乘arctan(1/x)+cosx在x趋近于0时的极限

题目

√x(sinx+cosx)/(1+x)在x趋近于无穷时的极限 e的-1/|x|次幂乘arctan(1/x)+cosx在x趋近于0时的极限

答案

x趋近于正无穷时,lim√x(sinx+cosx)/(1+x)=lim(sinx+cosx)/(1/√x+√x)
=limC/(1/√x+√x)=0 (-根号2<=C=sinx+cosx<=根号2)
x趋近于0+时,lime^(-1/|x|)*[arctan(1/x)+cosx]=lime^(-1/|x|)*[limarctan(1/x)+limcosx]=e^0*[arctan(正无穷)+cos(0+)]=π/2+1
x趋近于0-时,lime^(-1/|x|)*[arctan(1/x)+cosx]=lime^(-1/|x|)*[limarctan(1/x)+limcosx]=e^0*[arctan(负无穷)+cos(0-)]=-π/2+1
x趋近于0+时和0-时,两者极限不等,所以x趋近于0时lime^(-1/|x|)*[arctan(1/x)+cosx]无极限.