已知函数f(x)＝1/3x3−x2+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线是3x-y-2=0． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）设t∈[-2，-1]，函数g（x）=f（x）+（m-3）x在（t，+∞

题目

已知函数f(x)＝

1

3

x

答案

（Ⅰ）f′（x）=x²-2x+a，所以切线的斜率k=f′（0）=a，
又切线方程为3x-y-2=0，故a=3．
∵点P（0，b）在切线上，∴b=-2．…（5分）
（Ⅱ）因为f(x)＝

1

3

x3−x2+3x−2，
所以g(x)＝

1

3

x3−x2+3x−2+(m−3)x＝

1

3

x3−x2+mx−2，
所以g′（x）=x²-2x+m，
又g（x）是（t，+∞）上的增函数，所以g′（x）≥0在t∈[-2，-1]上恒成立，…（7分）
即t²-2t+m≥0在t∈[-2，-1]上恒成立，
又函数h（t）=t²-2t+m在t∈[-2，-1]是递减函数，
所以h（x）_min=h（-1）=m+3≥0，
所以m≥-3．…（12分）