在平行四边形ABCD中,∠A、∠B的平分线交于点O,分别延长BO、AO交AD、BC于E、F,求证：

题目

在平行四边形ABCD中,∠A、∠B的平分线交于点O,分别延长BO、AO交AD、BC于E、F,求证：
1）AO⊥BO
2）四边形ABFE是菱形

答案

1、
∵平行四边形对角相等,且内角和为360°
∴∠A+∠B=180°
∴1/2（∠A+∠B）=90°
∴△AOB中,∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-1/2(∠A+∠B)=90°
∴AO⊥BO
2、
∵AO⊥BO
∴∠OFB+∠OBF=90°
又∵∠OAB+∠OBA=90°,且∠OBA=∠OBF
∴∠BFA=∠BAF
同理,得到∠EFA=EAF,且∠EAF=∠FAB
∴∠EFA=∠FAB
∴EF∥AB,且AE=EF,AB=BF
同样道理,得到EF=FB,AB=AE
所以平行四边形ABFE中,四条边相等,且对角线相互垂直,所以它是菱形.