如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是210，255． （1）求tan（α+β）的值；（2）求α+2β的值．

题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是

2

10

，

2 5

5

．

（1）求tan（α+β）的值；
（2）求α+2β的值．

答案

（1）由已知条件即三角函数的定义可知cosα＝

2

10

，cosβ＝

2 5

5

，
因为α为锐角，则sinα＞0，从而sinα＝

1−cos2α

＝

7 2

10

同理可得sinβ＝

1−cos2β

＝

5

5

，
因此tanα＝7，tanβ＝

1

2

．
所以tan（α+β）=

tanα+tanβ

1−tanα•tanβ

＝

7+ 1 2

1−7× 1 2

＝−3；
（2）tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=

−3+ 1 2

1−(−3)× 1 2

＝−1，
又0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，故0＜α+2β＜

3π

2

，
所以由tan（α+2β）=-1得α+2β＝

3π

4

．

（1）先由已知条件得cosα＝

2

10

，cosβ＝

2 5

5

；再求sinα、sinβ进而求出tanα、tanβ；
最后利用tan（α+β）=

tanα+tanβ

1−tanαtanβ

解之．
（2）利用第一问把tan（α+2β）转化为tan[（α+β）+β]求之，再根据α+2β的范围确定角的值．

本题考点：两角和与差的正切函数．

考点点评：本题主要考查正切的和角公式与转化思想．