A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,满足OA向量乘OB向量=0 求证AB经过一个定点.作OM垂直AB于M,M轨迹方程.

题目

A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,满足OA向量乘OB向量=0 求证AB经过一个定点.作OM垂直AB于M,M轨迹方程.

答案

设A(y1^2/2p,y1),B(y2^2/2p,y2),则由OA向量乘OB向量=0得,(y1y2)^2/4p^2+y1y2=0,即y1y2(y1y2/4p^2+1)=0,y1y2不等于0,所以y1y2= -4p^2；写出AB直线方程并化简得
y(y1+y2)=2p( x-2p) ,观察易得恒过点(2p,0)；由直线OM的斜率为AB斜率倒数分之一可以写出OM的方程y= -(y1+y2)/2p *x,接着与AB方程y(y1+y2)=2px-4p^2联立,观察一下,只需消去y1+y2即可得到M的轨迹,即y^2=2px -x^2