f(x)为二次函数,f(x)>2x的解集为1

题目

f(x)为二次函数,f(x)>2x的解集为1

答案

已知二次函数f(x)的二次向系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).
求（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求的解析式
(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取之范围
设y=ax^2 +bx+c ,因为f(x)＞-2x的解集为(1,3)
即ax^2 +(b+2)x+c＞0的解集为(1,3)
所以方程ax^2 +(b+2)x+c＝0的解为x1=1 ,x2=3 ,且a＜0
所以a+b+c+2=0 且9a+3(b+2)+c=0
(1).因为方程f(x)+6a=0有两个相等的根
所以△＝b^2 -4a(c+6a)＝0
联立三个等式解得：a＝-1/5 、b＝-6/5 、c＝-3/5
所以解析式为：y=-1/5 *(x^2 +6x +3)
(2).因为a+b+c+2=0 且9a+3(b+2)+c=0
所以 b=-4a-2 ,c=3a
所以解析式为：y=ax^2 -2(2a+1)x +3a
因为最大值y＝[12a^2 -4(2a+1)^2]/4a ＝-(a^2+4a+1)/a ＞0
所以a＜-2-√3 或 -2+√3＜a＜0