设函数F（X)=(X+1)Ln（X+1）若对所有的X大于等于零都有F(X)大于等于aX成立,求实数a的取值范围?

题目

设函数F（X)=(X+1)Ln（X+1）若对所有的X大于等于零都有F(X)大于等于aX成立,求实数a的取值范围?
能不能写下步骤呢,可能麻烦些,但我们很需要这个问题的答案!

答案

令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax,
于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0,解得x＝ea－1－1,
当x＞ea－1－1时,g′(x)＞0,g(x)为增函数,
当－1＜x＜ea－1－1,g′(x)＜0,g(x)为减函数,
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．
由此得a≤1,即a的取值范围是（－∞,1]．
本质是函数的最值问题．函数是统帅!统帅方程与不等式．形成模式,简缩思维．比如,含参数的不等式恒成立,求参数范围的方法．