已知m,n是方程x²-x-9=0的两个实数根,求m²+7n²+3n-66的值

题目

已知m,n是方程x²-x-9=0的两个实数根,求m²+7n²+3n-66的值

答案

∵m、n是方程x^2－x－9＝0的两根,∴m^2－m＝n^2－n＝9、m＋n＝1,
∴m^2＋7n^2＋3n－66
＝（m^2－m）＋m＋7（n^2－n）＋7n＋3n－66
＝9＋m＋7×9＋10n－66
＝6＋（m＋n）＋9n
＝6＋1＋9n
＝7＋9n.
∵n^2－n＝9,∴n^2－n＋1/4＝9＋1/4＝37/4,∴（n－1/2）^2＝37/4,
∴［（n－1/2）＋√37/2］［（n－1/2）－√37/2］＝0,
∴n＝（1－√37）/2,或n＝（1＋√37）/2.
于是：
m^2＋7n^2＋3n－66＝7＋9（1－√37）/2,或m^2＋7n^2＋3n－66＝7＋9（1＋√37）/2.