已知正数数列{an}的前n项和为Sn,且对于任意正整数n满足2根号Sn=an+1 求an通项

题目

已知正数数列{an}的前n项和为Sn,且对于任意正整数n满足2根号Sn=an+1 求an通项

答案

2√Sn=an+1
则有,4Sn=(an+1)²
4a(n+1)=4[S(n+1)-Sn]=[a(n+1)+1]²-(an+1)²
=[a(n+1)]²+2a(n+1)-(an)²-2an
即：2a(n+1)+2an=[a(n+1)]²-(an)²=[a(n+1)+an][a(n+1)-an]
有题目中有数列{an}是正整数数列
所以,a(n+1)-an≥0
若a(n+1)-an=0,则有：2[a(n+1)+an]=0,即an=a(n+1)=0
与题目中是正整数数列相矛盾,故此种情况舍去
若a(n+1)-an>0
则有,2=a(n+1)-an
当n=1时,a1=s1
即,4a1=(a1+1)²,化简的：(a1-1)²=0
故,a1=1
综上所述：{an}是首相为1,公差为2的等差数列
则有,an=2n-1