已知a,b,c为正整数,且3a+b3b+c为有理数,证明a2+b2+c2a+b+c为整数.
题目
答案
证明:因为
是无理数,则
b-c≠0,
而
==
为有理数,
所以b
2-ac=0,
于是a
2+b
2+c
2=(a+b+c)
2-2(ab+bc+ac)=(a+b+c)
2-2(ab+bc+b
2)=(a+b+c)
2-2b(a+c+b)=(a+b+c)(a-b+c),
因此,
=a-b+c为整数.
先根据
是无理数判断出
b−c≠0,再把
分母有理化,根据a,b,c为正整数可知b
2-ac=0,再把a
2+b
2+c
2化为几个因式积的形式,消去所求代数式的分母,从而所求问题得以证明.
数的整除性.
本题考查的是数的整除性问题,解答此题的关键是把分母有理化,此题有一定的难度.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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