已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3=7，S4=24． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设p、q是正整数，且p≠q，证明：Sp+q＜1/2(S2p+S2q)．

题目

已知数列{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，a₃=7，S₄=24．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设p、q是正整数，且p≠q，证明：Sp+q＜

1

2

(S2p+S2q)．

答案

（1）设首项和公差分别为a₁，d
由

a3＝7 S4＝24

得

a1+2d＝7 4a1+6d＝24

所以

a1＝3 d＝2

，则a_n=2n+1；
（2）2S_p+q-（S_2p+S_2q）=2（p+q）²+4（p+q）-4p²-4p-4q²-4q
=-2（p-q）²≤0
所以 Sp+q≤

1

2

(S2p+S2q)．

（1）利用等差数列的通项公式化简a₃=7，S₄=24，分别得到关于首项和公差的两个方程，联立即可求出首项和公差的值，利用首项和公差写出等差数列的通项公式；
（2）分别利用求得等差数列的前n项和的公式表示出S_p+q和S_2p及S_2q，然后利用做差法即可比较出S_p+q和

1

2

(S2p+S2q)的大小．

本题考点：数列与不等式的综合；基本不等式；等差数列的通项公式．

考点点评：本题以等差数列为载体，考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，会利用做差法比较两个式子的大小，是一道中档题．