已知三角形三边a,b,c,证明：abc>=(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

题目

已知三角形三边a,b,c,证明：abc>=(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

答案

证明：∵a,b,c是△ABC的三边
∴a+b-c>0
a+c-b>0
b+c-a>0
∵(a+b-c)(a+c-b)=a^2-(b-c)^2≤a^2
∴(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)≤a^2(b+c-a)…………（1）
∵(a+b-c)(a+c-b)≤b^2
∴(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)≤b^2(a+c-b)…………（2）
∵(a+b-c)(a+c-b)≤c^2
∴(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)≤c^2(a+b-c)…………（3）
∵（1）,（2）,（3）三式两边都＞0
∴（1）,（2）,（3）三式两边分别相乘,得：
[(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]^3≤a^2b^2c^2(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
即：abc≥(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)