设A为n阶实矩阵,证明A是正交矩阵当且仅当对任意的n维向量α,β有(Aα,Aβ)=(α,β)

题目

设A为n阶实矩阵,证明A是正交矩阵当且仅当对任意的n维向量α,β有(Aα,Aβ)=(α,β)

答案

　　(α,β)=β^Tα,(Aα,Aβ)=β^TA^TAα
　　显然当A是正交阵的时候(Aα,Aβ)=(α,β)
　　反过来,令M=A^TA,M是一个对称阵
　　取α=β=e_i得到M(i,i)=1,这里e_i是单位阵的第i列
　　对于i≠j,取α=e_i,β=e_j,得到M(i,j)=0所以M=I