f(x)为定义在R上的偶函数,且f(2-x)=f(2+x)对x属于R恒成立,求证f(x)为周期函数

题目

f(x)为定义在R上的偶函数,且f(2-x)=f(2+x)对x属于R恒成立,求证f(x)为周期函数

答案

f(x)为定义在R上的偶函数,则：f(-x)=f(x)
所以,f(2-x)=f(x-2)
又因为f(2-x)=f(2+x)
所以：f(x-2)=f(x+2)
即：f[(x+2)-2]=f[(x+2)+2]
得：f(x)=f(x+4)
所以,f(x)为周期函数,T=4