用数学归纳法证明二分之一加二的平方分之一加二的立方分之一加到二的n次方分之一等于1-二的n次方分之一

题目

用数学归纳法证明二分之一加二的平方分之一加二的立方分之一加到二的n次方分之一等于1-二的n次方分之一

答案

证明：当n=1时,2分之1=1-2分之1,等式成立
假设n=m时等式成立
但n=m+1时
左边=1-2的n次方分之1+2的(n+1)次方分之1
=1-2的(n+1)次方分之2+2的(n+1)次方分之1
=1-2的(n+1)次方分之1
也就是：
2分之1+2²分之1+2³分之1+2的n次方分之1+2的(n+1)次方分之1=1-2的(n+1)次方分之1
∴2分之1+2²分之1+2³分之1+……2的n次方分之1=1-2的n次方分之1 对任意自然数n,公式均成立