已知四边形ABCD之面积为32,若AB,CD及AC三线段长均为整数、和为16,且AB

题目

已知四边形ABCD之面积为32,若AB,CD及AC三线段长均为整数、和为16,且AB

答案

设AB=a,CD=b,AC=x,a,b,x都为正整数,且a≤b.令三角形ABC边AB的高为m,三角形ADC边CD的高为n.则S(ABCD)=S(ABC)+S(ADC)=a*m/2+b*n/2≤(a+b)x/2.当且仅当m=n=x时取等号.此时AB‖CD,即四边形ABCD为梯形或平行四边形,且AC为它们的高.由已知得:64≤(a+b)x (1)a+b=16-x (2)故有64≤(16-x)x (x-8)^2≤0是以x=8,此时a+b=8.故这样的四边形有4个,即(a,b,x)=(1,7,8);(2,6,8);(3,5,8);(4,4,8).