设圆上的点A（2,3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,切与直线x-y+1=0相交的弦长为2根号2,求圆的方程

题目

设圆上的点A（2,3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,切与直线x-y+1=0相交的弦长为2根号2,求圆的方程

答案

因为对称点仍在这圆上,所以x+2y=0是过圆心的直线.
设圆心为(-2a,a) （x+2a）^2+(y-a)^2=r^2
弦心距d=(│-2a-a+1│/根号2
所以r^2=d^2+2 ①
又A在圆上,所以（2+2a）^2+(3-a)^2=r^2 ②
联立①②得a^2+10a+21=0 则(a+3)(a+7)=0解出a=-3或a=-7 所以r^2=52或244
所以（x-6）^2+(y+3)^2=52
或（x-14）^2+(y+7)^2=244