设S为{1,2,...,50}的具有以下性质的子集,S中任意两个不同元素之和不被7整除,则S中的元素至多有多少个

题目

设S为{1,2,...,50}的具有以下性质的子集,S中任意两个不同元素之和不被7整除,则S中的元素至多有多少个

答案

S元素至多有23个
S中被7除余1、2、3、4、5、6、0的元素个数分别有：
8、7、7、7、7、7、7个.
其中,被7除
余1与余6,余2与余5,余3与余4,余0与余0,这些组对的数是互斥的,即
两组内各取一数,总使和被7整除.
因此,S最多含余1、2、3的3组数,及余0的一组中至多1个数,可使S任意两个不同元素之和不被7整除.
易知此时S无论再增加何数,总产生至少一对互斥数.可知这样的取法最大.
S中最多有8+7+7+1 = 23 个数