已知二次函数f(x)=ax^2+bx+2的导函数的图像过(-1/2,0)和(0,1)

题目

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+2的导函数的图像过(-1/2,0)和(0,1)
(1)求函数f(x)的解析式
(2)令g(x)=f(x)/x,求y=g(x)在上[1,3]上的最大值

答案

易知导函数f'(x)=2ax+b
将点(-1/2,0)和(0,1) 代入上式得：
a=1
b=1
所以f(x)=x^2+x+2
g(x)=f(x)/x=x+1/x+2
g'(x)= -1/x^2 +1
当x=1时候g'(x)= 0
当x在区间(1,3]时候,g'(x)=恒小于0,故g(x)在这个区间单调递增
所以在这个区间最大值为g(3)=3+1/3+2 =16/3
其实x+1/x的图像你该记住的,这个是一三象限的函数,在第一象限单调递增,在第三象限,单调递减的.