F是定点,l是定直线,F到l距离为p,M在直线上滑动,动点N在MF延长线上,且FN:MN=1:MF,求N的轨迹

题目

F是定点,l是定直线,F到l距离为p,M在直线上滑动,动点N在MF延长线上,且FN:MN=1:MF,求N的轨迹

答案

设F到直线l的垂线的垂足为F2
以FF2为X轴,FF2的垂直平分线为Y轴,FF2的垂直平分线交点为原点,建立直角坐标系
则,F(-p/2,0),F2(p/2,0)
连接FN,交l于M点,设N（x,y）
据题意,FN:MN=1:MF
即,MN:FN=MF,FM:FN=1-FM
所以,(FM/FN)*(1+FN)=1
FM:FN=p:(x+p/2),FN=√[y^2+(x+p/2)^2]
所以有,y^2+[(2x+p)^2]/4=[(2x+p)^2]/4p
4py^2=(2x+p)^2(1-p)