如图，在△ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB和AC上，CE与BF相交于点D，若AE=CF，D为BF的中点，AE：AF的值为 _ ．

题目

如图，在△ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB和AC上，CE与BF相交于点D，若AE=CF，D为BF的中点，AE：AF的值为 ___ ．

答案

过F作FH∥AB交CE于H，
∵FH∥AB，
∴∠HFD=∠EBD，
∵D为BF的中点，
∴BD=DF，
在△BED和△FHD中

∠EBD=∠HFD ∠EDB=∠FDH BD=DF

，
∴△BED≌△FHD（AAS），
∴FH=BE，
∵FH∥AB，
∴△CFH∽△CAE，
∴HF：AE=CF：AC，
∵AC=AB，CF=AE，
∴AF=BE=HF．
设AC=AB=1，AE=x，则

HF

AE

=

CF

AC

即为

1-x

x

=

x

1

，
解得x=

5

2

-

1

2

，AF=

3

2

-

5

2

，
∴AE：AF=

5 +1

2

．

过F作FH∥AB交CE于H，首先证明△BED≌△FHD（SAS），得FH=BE；再证明△CFH∽△CAE，得到HF：AE=CF：AC，由已知可得CF=AE，AF=BE=HF，设AC=BA=1，AE=x，代入相似比中，即可解得x，即可得解AE：AF．

本题考点：相似三角形的判定与性质．

考点点评：本题主要考查三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质及二元一次方程的解法，正确作出辅助线是解题的关键．