已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且limx→0,y→0f(x,y)-xy(x2+y2)2=1,则( ) A.点(0,0)不是f(x,y)的极值点 B.点(0,0)是f(x,y)的
题目
已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且
f(x,y)-xy |
(x
答案
由 =1知, 因此分母的极限趋于0,故分子的极限必为零, 从而有f(0,0)=0; 因为极限等于1;故f(x,y)-xy~(x 2+y 2) 2(|x|,|y|充分小时), 于是f(x,y)~xy+(x 2+y 2) 2. 因为:f(0,0)=0; 所以:f(x,y)-f(0,0)~xy+(x 2+y 2) 2. 可见当y=x且|x|充分小时, f(x,y)-f(0,0)≈x 2+4x 4>0; 而当y=-x且|x|充分小时,f(x,y)-f(0,0)≈-x 2+4x 4<0. 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点. 故选:A.
举一反三
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