已知函数f(x)=cos^2x/2-sinx/2cosx/2-1/2,若f(a)=3*根号2/10,求sina

题目

已知函数f(x)=cos^2x/2-sinx/2cosx/2-1/2,若f(a)=3*根号2/10,求sina
答案完全看不懂 不能理解.

f(x)=cos^2x/2-sinx/2cosx/2-1/2
=1/2(cosx+1-sinx)-1/2=(cosx-sinx)/2=√2/2cos(x+π/4)
f(a)=√2/2cos(x+π/4)=3√2/10
cos(a+π/4)=3/5 cos2(x+π/4)=cos(2x+π/2)=-sin2x 为什么sin2a=-cos2(a+π/4)=-2cos^2(a+π/4)+1=-2*9/25+1=7/25 为什么.

答案

根据倍角公式,cosx=2(cosx/2)^2-1,(cosx/2)^2=(1+cosx)/2,sinx=2sin(x/2)cos(x/2)
∴f(x)=((1+cosx)/2-(1/2)sinx-1/2
=(1/2)(cosx-sinx).（1）
=(√2/2）[（√2/2）cosx-(√2/2）sinx]
=（√2/2）cos(π/4+x),
f(α）=（√2/2）cos(π/4+α)=3√2/10,
cos(π/4+α)=3/5,
根据余弦倍角公式,
cos[2(π/4+α)]=2*(3/5)^2-1=18/25-1=-7/25,
cos[2(π/4+α)]=cos(π/2+2α）=-cos[π-（π/2+2α）]=-cos(π/2-2α）=-sin2α,
∴sin2α=7/25,
为什么这样复杂?
从（1）式(1/2)（cosα-sinα）=3√2/10,
两边平方,1-sin2α=18/25,即可得sin2α=7/25,
两边同加1,1+sin2α=32/25,
(sinα）^2+2sinαcosα+（cosα)^2=32/25,
(sinα+cosα)^2=32/25,
sinα+cosα=±4√2/5,.（2）
cosα-sinα=3√2/5.（3）
（2）-（3）式,
2sinα=√2/5,sinα=√2/10,
或,2sinα=-7√2/5,sinα=-7√2/10.