已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)＞－2x的解集为（1,3） （1）若方程f（x）+6a＝0有两个相

题目

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)＞－2x的解集为（1,3） （1）若方程f（x）+6a＝0有两个相
的根,求f（x）的解析式
（2）若f（x）的最大值为正数,求a的取值范围

答案

设f(x)=ax²+bx+c
f(x)＞－2x
即ax²+(b+2)x+c＞0 解集为（1,3）
所以1,3为方程ax²+(b+2)x+c=0的两根
根据韦达定理
c/a=1×3=3,-(b+2)/a=1+3=4
所以c=3a,b=-4a-2
又f（x）+6a＝0有两等根
即ax²+bx+6a+c=0判别式b²-4a(6a+c)=0
将c=3a,b=-4a-2代入解得a=-1/5或a=1(舍去）
所以c=3/5,b=-6/5
所以f(x)=-1/5x²-6/5x+3/5
(2)f(x)=ax²-（4a+2)x+3a
因为f(x)有最大值,所以a＜0
f(x)max=12a²-[(4a+2)²]/4a＞0
解得a＜-2-根号3或根号3-2＜a＜0
回答完毕.